La ecuación de Navier-Stokes y multifractales
No existe, en la actualidad, un teorema general sobre la existencia y la unicidad de las soluciones de la ecuación de Navier-Stokes, la cual describe el flujo de un fluido viscoso e incompresible. Éste es un problema abierto a nivel internacional, llamado el Problema del Premio del Milenio, por el c...
| Autor principal: | |
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| Publicado: |
Universidad de Costa Rica, Centro de Investigación en Matemática Pura y Aplicada (CIMPA)
2008
|
| Acceso en línea: | https://revistas.ucr.ac.cr/index.php/matematica/article/view/288 |
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Universidad de Costa Rica |
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Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones |
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Mercado Escalante, José Roberto |
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Mercado Escalante, José Roberto La ecuación de Navier-Stokes y multifractales |
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No existe, en la actualidad, un teorema general sobre la existencia y la unicidad de las soluciones de la ecuación de Navier-Stokes, la cual describe el flujo de un fluido viscoso e incompresible. Éste es un problema abierto a nivel internacional, llamado el Problema del Premio del Milenio, por el cual el Instituto Clay de Francia está ofreciendo 1 millón de dólares, desde mayo de 2000.
Nuestro propósito, con el presente artículo, es presentar una revisión breve sobre los aspectos más importantes de la evolución y estado actual del problema.
Nuestro aporte es la descripción analítica de la turbulencia, completamente desarrollada, a través de las tasas de la resolución y de los rasgos de procesos multifractal, como una colección de procesos de Cantor generalizados. Presentamos cuatro modelos para la distribución de las variaciones de la velocidad; el primero lo basamos en los tiempos de vida y funciones de riesgo para la interacción entre los vórtices y su posterior fragmentación en vórtices cada vez más pequeños y más numerosos; el segundo, se basa en las pruebas de Bernoulli potenciadas, y encontramos el número de rasgos, el espectro y la función de estructura. Encontramos la relación de los parámetros de forma con la dimensión caja del máximo del espectro; como también, con las dimensiones locales. Y, describimos cuantitativamente el árbol asociado.
Las tasas mencionadas nos sirven de soporte, no sólo, para la descripción de un modelo tridimensional de turbulencia intermitente, que generaliza el resultado paradigmático de Kolmogorov; sino además, la energía transferida en cada etapa del proceso de fractalización; como también, el número de los exponentes característicos, el cual produce una cota superior para la dimensión de Hausdorff del conjunto de singularidades de las soluciones. |
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RMTA2882022-01-21T18:21:17Z La ecuación de Navier-Stokes y multifractales La ecuación de Navier-Stokes y multifractales Mercado Escalante, José Roberto Navier-Stokes turbulence intermittency multifractals velocity gradients Navier-Stokes turbulencia intermitencia multifractales gradientes de velocidad There is currently no general theorem on the existence and unicity of solutions to the Navier-Stokes equation, which describes the flow of a viscous and incompressible fluid. This is an open problem at the international level, known as the millennium prize problem, for which the Clay Institute of France is offering one million dollars since may 2000.The purpose of this article is to present a brief revision of the most important aspects of the evolution and current status of the problem. Our contribution is the analytical description of turbulence, fully developed, through the resolution rates and the features of multifractal processes, as a collection of generalized Cantor processes. We present four models for the distribution of velocity variations. The first one is based on the life times and risk functions for the interaction between the vortices and their later fragmentation in ever smaller and more numerous vortices. The second one is based on potentiated Bernoulli tests, and we found the number of features, the spectrum, and the structure function. We found the relationship of the shapeparameters with the box dimension of the maximum spectrum as well as with the local dimensions and we described qualitatively the associated tree.The above-mentioned rates serve as support, not only for the description of a three-dimensional model of intermittent turbulence that generalizes the Kolmogorov paradigmatic result, but also for the energy transferred in each stage of the fractalization process, and also for the number of characteristic exponents, which produces a higher level for Hausdorff’s dimension of the set of singularities of the solution. No existe, en la actualidad, un teorema general sobre la existencia y la unicidad de las soluciones de la ecuación de Navier-Stokes, la cual describe el flujo de un fluido viscoso e incompresible. Éste es un problema abierto a nivel internacional, llamado el Problema del Premio del Milenio, por el cual el Instituto Clay de Francia está ofreciendo 1 millón de dólares, desde mayo de 2000. Nuestro propósito, con el presente artículo, es presentar una revisión breve sobre los aspectos más importantes de la evolución y estado actual del problema. Nuestro aporte es la descripción analítica de la turbulencia, completamente desarrollada, a través de las tasas de la resolución y de los rasgos de procesos multifractal, como una colección de procesos de Cantor generalizados. Presentamos cuatro modelos para la distribución de las variaciones de la velocidad; el primero lo basamos en los tiempos de vida y funciones de riesgo para la interacción entre los vórtices y su posterior fragmentación en vórtices cada vez más pequeños y más numerosos; el segundo, se basa en las pruebas de Bernoulli potenciadas, y encontramos el número de rasgos, el espectro y la función de estructura. Encontramos la relación de los parámetros de forma con la dimensión caja del máximo del espectro; como también, con las dimensiones locales. Y, describimos cuantitativamente el árbol asociado. Las tasas mencionadas nos sirven de soporte, no sólo, para la descripción de un modelo tridimensional de turbulencia intermitente, que generaliza el resultado paradigmático de Kolmogorov; sino además, la energía transferida en cada etapa del proceso de fractalización; como también, el número de los exponentes característicos, el cual produce una cota superior para la dimensión de Hausdorff del conjunto de singularidades de las soluciones. Universidad de Costa Rica, Centro de Investigación en Matemática Pura y Aplicada (CIMPA) 2008-02-01 info:eu-repo/semantics/article info:eu-repo/semantics/publishedVersion Article application/pdf https://revistas.ucr.ac.cr/index.php/matematica/article/view/288 10.15517/rmta.v15i1.288 Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones; Vol. 15 No. 1 (2008): Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones; 49-70 Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones; Vol. 15 Núm. 1 (2008): Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones; 49-70 Revista de Matemática; Vol. 15 N.º 1 (2008): Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones; 49-70 2215-3373 1409-2433 spa https://revistas.ucr.ac.cr/index.php/matematica/article/view/288/268 Derechos de autor 2008 Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones |