La ecuación de Navier-Stokes y multifractales - Mercado Escalante, José Roberto (Universidad de Costa Rica, Centro de Investigación en Matemática Pura y Aplicada (CIMPA), 2008)
No existe, en la actualidad, un teorema general sobre la existencia y la unicidad de las soluciones de la ecuación de Navier-Stokes, la cual describe el flujo de un fluido viscoso e incompresible. Éste es un problema abierto a nivel internacional, llamado el Problema del Premio del Milenio, por el cual el Instituto Clay de Francia está ofreciendo 1 millón de dólares, desde mayo de 2000. Nuestro propósito, con el presente artículo, es presentar una revisión breve sobre los aspectos más importantes de la evolución y estado actual del problema. Nuestro aporte es la descripción analítica de la turbulencia, completamente desarrollada, a través de las tasas de la resolución y de los rasgos de procesos multifractal, como una colección de procesos de Cantor generalizados. Presentamos cuatro modelos para la distribución de las variaciones de la velocidad; el primero lo basamos en los tiempos de vida y funciones de riesgo para la interacción entre los vórtices y su posterior fragmentación en vórtices cada vez más pequeños y más numerosos; el segundo, se basa en las pruebas de Bernoulli potenciadas, y encontramos el número de rasgos, el espectro y la función de estructura. Encontramos la relación de los parámetros de forma con la dimensión caja del máximo del espectro; como también, con las dimensiones locales. Y, describimos cuantitativamente el árbol asociado. Las tasas mencionadas nos sirven de soporte, no sólo, para la descripción de un modelo tridimensional de turbulencia intermitente, que generaliza el resultado paradigmático de Kolmogorov; sino además, la energía transferida en cada etapa del proceso de fractalización; como también, el número de los exponentes característicos, el cual produce una cota superior para la dimensión de Hausdorff del conjunto de singularidades de las soluciones.