CREACIÓN DE HERRAMIENTA EN LÍNEA, ÚTIL PARA ABORDAR UN PROBLEMA DE VALORES EN LA FRONTERA DEL TIPO DIRICHLET

CREACIÓN DE HERRAMIENTA EN LÍNEA, ÚTIL PARA ABORDAR UN PROBLEMA DE VALORES EN LA FRONTERA DEL TIPO DIRICHLET

Se programó una herramienta digital para utilizarse en línea y gratuita, a través de la plataforma Geogebra. Dicha herramienta resuelve numéricamente la ecuación de Laplace con valores en la frontera (del tipo Dirichlet) para una malla rectangular de 6×6, en la que 20 valores están en la frontera y...

Descripción completa

Detalles Bibliográficos
Autor principal: Villarreal G. , Ramiro A.
Formato: Online
Idioma:spa
Publicado: Universidad de Panamá. Facultad de Ciencias Naturales, Exactas y Tecnología 2024
Acceso en línea:https://revistas.up.ac.pa/index.php/tecnociencia/article/view/5396
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description Se programó una herramienta digital para utilizarse en línea y gratuita, a través de la plataforma Geogebra. Dicha herramienta resuelve numéricamente la ecuación de Laplace con valores en la frontera (del tipo Dirichlet) para una malla rectangular de 6×6, en la que 20 valores están en la frontera y 25 valores están en el interior, todos distribuidos de manera uniforme en coordenadas cartesianas. El método numérico utilizado para resolver la ecuación diferencial fue el método de diferencias finitas, en el cual se apreció que, para calcular cada valor del campo escalar “ui,j” dentro de la malla rectangular, se realizó el promedio de los valores adyacente al valor en cuestión, es decir                                                                                     Por otro lado, para plantear el grado de aproximación entre el modelo analítico “MA” (la ecuación de Laplace) y el modelo numérico “MD” (método de diferencias finitas) se realizó una expansión en serie de Taylor, hasta el quinto término, de un valor arbitrario “u(x,y)” del campo escalar, con lo que dicho planteamiento llega al siguiente resultado                                                                                                En donde el término “TD” es denominado “término de discrepancia”, ya que el mismo marcó la diferencia cuantitativa entre dichos modelos matemáticos. Su forma analítica obtenida fue la siguiente                                                                                   El término “h” representó la forma en que había sido seccionado la malla. Adicional a esto, si el campo escalar variaba de manera suave y las condiciones en la frontera eran homogéneas, se podía obtener una solución general para la ecuación diferencial de Laplace. En dicha solución, se generaron constantes  que dependían de las condiciones de frontera, con lo que se desveló, para un sistema físico estable en concreto, la dependencia del TD con el cuadrado de h.                                                                                   Resaltó a la vista, el hecho de que al hacer el término h más pequeño, este término de discrepancia se volvió irrelevante y consecuentemente, ambos modelos, analíticos y numérico, mostraron su aproximación.   Para resolver el sistema lineal de ecuaciones de primer grado, se utilizó la regla de Cramer. Para la creación del algoritmo se utilizó el software Geogebra Clásico, Versión 6.0.801.0, el cual es gratuito. El link para acceder a esta herramienta digital es la dirección web,  https://www.geogebra.org/m/rmwrxxsa. El objetivo de la creación de esta herramienta estuvo basado en el estudio de sistemas físicos bajo condiciones de equilibrio o estables, tales como: el flujo térmico estable sobre una lámina conductora, una distribución estática de potencial eléctrico sobre una superficie, una distribución de presión que describe el flujo estable de un fluido, etc.
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The numerical method used to solve the differential equation was the finite difference method, in which it was noted that, to calculate each value of the scalar field “ui,j” within the rectangular mesh, the average of the values ??adjacent to the value in question, that is                                                                                         On the other hand, to establish the degree of approximation between the analytical model “MA” (the Laplace equation) and the numerical model “MD” (finite difference method), a Taylor series expansion was carried out, up to the fifth term, of an arbitrary value “u(x,y)” of the scalar field, with which said approach arrives at the following result                                                                                                   Where the term “TD” is called “discrepancy term” since it marked the quantitative difference between said mathematical models. Its analytical form obtained was the following                                                                                       The term “h” represented the way the mesh had been sectioned. In addition to this, if the scalar field varied smoothly and the boundary conditions were homogeneous, a general solution to the Laplace differential equation could be obtained. In this solution, constants  were generated that depended on the boundary conditions, which revealed, for a specific stable physical system, the dependence of the TD on the square of h.                                                                                         It clearly highlighted the fact that by making the term h smaller, this discrepancy term became irrelevant and consequently, both models, analytical and numerical, showed their approximation.   To solve the linear system of first degree equations, Cramer's rule was used. To create the algorithm, the Geogebra Classic software, Version 6.0.801.0, which is free, was used. The link to access this digital tool is the web address, https://www.geogebra.org/m/rmwrxxsa. The objective of the creation of this tool was based on the study of physical systems under equilibrium or stable conditions, such as: stable thermal flow over a conductive sheet, a static distribution of electrical potential on a surface, a pressure distribution that describes the stable flow of a fluid, etc. Se programó una herramienta digital para utilizarse en línea y gratuita, a través de la plataforma Geogebra. Dicha herramienta resuelve numéricamente la ecuación de Laplace con valores en la frontera (del tipo Dirichlet) para una malla rectangular de 6×6, en la que 20 valores están en la frontera y 25 valores están en el interior, todos distribuidos de manera uniforme en coordenadas cartesianas. El método numérico utilizado para resolver la ecuación diferencial fue el método de diferencias finitas, en el cual se apreció que, para calcular cada valor del campo escalar “ui,j” dentro de la malla rectangular, se realizó el promedio de los valores adyacente al valor en cuestión, es decir                                                                                     Por otro lado, para plantear el grado de aproximación entre el modelo analítico “MA” (la ecuación de Laplace) y el modelo numérico “MD” (método de diferencias finitas) se realizó una expansión en serie de Taylor, hasta el quinto término, de un valor arbitrario “u(x,y)” del campo escalar, con lo que dicho planteamiento llega al siguiente resultado                                                                                                En donde el término “TD” es denominado “término de discrepancia”, ya que el mismo marcó la diferencia cuantitativa entre dichos modelos matemáticos. Su forma analítica obtenida fue la siguiente                                                                                   El término “h” representó la forma en que había sido seccionado la malla. Adicional a esto, si el campo escalar variaba de manera suave y las condiciones en la frontera eran homogéneas, se podía obtener una solución general para la ecuación diferencial de Laplace. En dicha solución, se generaron constantes  que dependían de las condiciones de frontera, con lo que se desveló, para un sistema físico estable en concreto, la dependencia del TD con el cuadrado de h.                                                                                   Resaltó a la vista, el hecho de que al hacer el término h más pequeño, este término de discrepancia se volvió irrelevante y consecuentemente, ambos modelos, analíticos y numérico, mostraron su aproximación.   Para resolver el sistema lineal de ecuaciones de primer grado, se utilizó la regla de Cramer. Para la creación del algoritmo se utilizó el software Geogebra Clásico, Versión 6.0.801.0, el cual es gratuito. El link para acceder a esta herramienta digital es la dirección web,  https://www.geogebra.org/m/rmwrxxsa. El objetivo de la creación de esta herramienta estuvo basado en el estudio de sistemas físicos bajo condiciones de equilibrio o estables, tales como: el flujo térmico estable sobre una lámina conductora, una distribución estática de potencial eléctrico sobre una superficie, una distribución de presión que describe el flujo estable de un fluido, etc. Universidad de Panamá. Facultad de Ciencias Naturales, Exactas y Tecnología 2024-07-25 info:eu-repo/semantics/article info:eu-repo/semantics/publishedVersion Artículo revisado por pares application/pdf https://revistas.up.ac.pa/index.php/tecnociencia/article/view/5396 10.48204/j.tecno.v26n2.a5396 Tecnociencia; Vol. 26 Núm. 2 (2024): Tecnociencia; 51-67 2415-0940 1609-8102 spa https://revistas.up.ac.pa/index.php/tecnociencia/article/view/5396/4220 Derechos de autor 2024 Tecnociencia http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0

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