Las ecuaciones de Reynolds y la relación de clausura - Mercado Escalante, José Roberto (Universidad de Costa Rica, Centro de Investigación en Matemática Pura y Aplicada (CIMPA), 2009)
Nos planteamos el problema de obtener la relación de clausura para las ecuaciones de Reynolds. Y, como objetivo secundario, obtener expresiones analíticas para los esfuerzos de Reynolds; mostrando su salto de discontinuidad, como expresión de la ruptura de la simetría, la que interpretamos como una salto en el índice de ocupación del espacio. Nuestro resultado principal consiste en que el esfuerzo de Reynolds se expresa como la derivada fraccional de la velocidad media, siendo el orden de la derivada el índice de ocupación espacial; lo que transforma la ecuación de Reynolds en una ecuación integro-diferencial. Formulamos un modelo de Prandtl fraccional, en donde la raíz cuadrada del esfuerzo de Reynolds depende de la derivada fraccional de la velocidad media; y se recupera el modelo de Prandtl cuando la derivada fraccional tiende al orden entero de valor unitario. Se presenta una transición regularizante entre la velocidad de la subcapa inercial y la viscosa; y se obtiene la constante de Nikuradse como el equivalente hidráulico de la constante de Euler, que mide la razón de las dos escalas. Analizamos las ecuaciones de Reynolds para un flujo entre dos planos paralelos, o para un tubo, a través de una ecuación de Fokker-Planck estacionaria. Se obtiene el perfil de velocidades tanto para la subcapa viscosa; como para la subcapa inercial. El fluido presenta una transición de segundo orden que se manifiesta, a nivel macro, como un salto de discontinuidad del esfuerzo de Reynolds, en tanto parámetro de orden, con ruptura de la simetría; y a nivel micro, como un salto en el índice de ocupación del espacio.